体論に関するさわりだけの紹介記事です。 数学では物事に対する抽象化がよく行われます。抽象的にすると、これまで別々に扱っていたものを一つにまとめて表すことができるので、何かと便利なわけです。 日常的な例でいえば、ラーメンもうどんも麺類ですよね…

とっとこハム太郎に登場する「かぶるくん」というキャラクターがいかに不憫であるかを示すものとして、かぶるくん数列を考案します。一応念のためだけれど、かぶるくんというキャラクターを非難したいわけじゃないからね。むしろ逆だよ；＿； （お遊びの度合…

今年の自分の誕生日が何曜日なのか確認してみて、ああ、そういえば生まれた当時の曜日も同じ曜日だったと聞いたことがあるな、という経験ある方おられると思います。 実はあんまり直感的でないのですが、〇〇日が△曜日になる確率って単純に1／7とはならなく…

小学校の算数から、高校の数学までを、単元ごとに全部繋げたツリーを作ってみました。2020年度版のカリキュラムで繋げています。*1 全体を見るとこんな感じです↓（解像度のせいでよく見えない） pdf版を以下に置いたので、内容はそっちを確認してね。 drive.…

羊が一匹、羊が二匹、羊が三匹、……と続けていって、9000兆匹数えるまで何年掛かるか？？という問題を考えます（出処はyahoo知恵袋です）。 一匹数えるのに掛かる時間を9000兆倍すれば求まりそうですが、より正確に求めようと思ったら、徐々に1匹を数える時間…

積分は関数グラフの面積を求める方法ですけど、きちんと積分が求められるためには、関数グラフが連続で滑らかでなければなりませんよね。↓こういう、途中穴があいたような関数には不適ということです。 面積を求めるのですから、こんなものがうまく求められ…

過去ブログの転載です。 プログラミングで値の交換をするとき、ちょっと困ることがあります。例えば、変数Aと変数Bがあったとして、Aの値をBに、Bの値をAに、それぞれ交換することを考えます。しかしプログラムでは値のコピーはできても、値の交換を直接行う…

過去ブログの転載です。 今回は整数解の個数に関する以下の証明をしてみます。 実数があるとき、次の範囲を満たす整数の個数をそれぞれ与える。個個個個ただし、はそれぞれ床関数、天井関数。（それぞれ正の数に対する切り捨て、切り上げに相当） 例えばを満…

過去ブログの転載です。 を求めます。ただし、は正の数のみという条件が要ります。マイナス入ったら変形してこの形にします。 は床関数です。中身が正の数なので、この場合は小数点以下切り捨てと同義です。要するに有理数の切り捨てしていったものを足して…

過去ブログの転載です。 FFRK（ファイナルファンタジーレコードキーパー）というスマホ向けゲームがあるみたいなのですが、課金をするとジェムというアイテムがもらえて、それを使って色々できるらしいのです。 ジェムは課金でしか手に入らないらしくて、個…

過去ブログの転載です。 最大公約数は、ユークリッドの互除法を定式化することで、以下の式により求めることが可能です。 正の整数との最大公約数をとします。は、をで割ったあまりを意味します。 この式で例えば138と60との最大公約数を求めてみると となり…

過去ブログの転載です。 実数係数の３次方程式の厳密解のまとめです。 プログラムで実装する際にカルダノの公式をそのまま代入すると、途中式に虚数が入るので、既存の関数で求めるのは何かと困難であったりします。そのため、解の種類によって場合分けして…

過去ブログの転載です。 多元ベズー方程式とは、上の多元不定方程式のことを指します。一次ディオファントス方程式ともいいます。 既知で非0の整数a[i]と、未知の整数x[i]との積和が整数b[1]になるとき、未知の整数x[i]の組を列挙するのが、この方程式を解く…

過去ブログの転載です。 自然数a, b, cからなる不定方程式ax＋by＝cの自然数解(x, y)を求める解の公式を前回作りました。 fermiumbay13.hatenablog.com ここではこれを拡張して、任意の個数の元での自然数解を求めます。 k個の正の整数a[1], a[2], …, a[k]（…

過去ブログの転載です。 これベズーの等式という名前がついているそうですね。 この形の不定方程式の自然数解(x, y)を求める問題はよくありますが、これを解くのって意外とめんどくさいことが多いのですよね。そこで、2次方程式みたいに解の公式を作ればラク…

過去ブログの転載です。 を求める方法の考え方です。は切り捨てを意味します。この場合は整数部分といっても正しいです。 要するに次のような値の総和を求める手続きです。 …… 求めるのは一見するととても難しそうですが、数値の見方を変えると捉えやすくな…

過去ブログの転載です。 総和の公式の中にこんなものがあります。 例えば、となります。 この公式を知らないと、左辺を展開してそれぞれの総和の公式に当てはめて、まとめて最後に因数分解……とかしないと右辺にならないので、結構面倒です。 でもなんだかこ…

過去ブログの転載です。 今も多分変わっていないと思うのですが、小学校で登場する図形のうち面積とか体積を公式として求められるものには次のようなのがありました。 ① 長方形の面積（縦×横）② 正方形の面積（一辺×一辺）③ 平行四辺形の面積（底辺×高さ）④ …

過去ブログの転載です。 減衰振動とは、その名の通り減衰していく振動のことです。 定数を用いて、と表わされます。 グラフはこんなかんじです。時間とともに減衰していく様子が確認できますね。この振動は一見すると物々しいもののようですが、実はかわいい…

過去ブログの転載です。 微分積分を習ってから色々なことを吸収し始めると、なんだか積分って、掛け算の拡張みたいだよな！！とか思い始める子いるんじゃないかと思います。 なぜかというと、掛け算というのは言わば長方形の面積を求めるのと一緒の演算で、…

過去ブログの転載です。 高次方程式の数値解を求めるうまい手法に、ベアストウ法というのがあります。 数値解を得るのは一般的にニュートン法で十分じゃないかと思われますが、虚数解を持つ高次方程式のすべての解をニュートン法で得るのは面倒なことが多く…

過去ブログの転載です。 微分積分の離散バージョンに差分和分（さぶんわぶん）というのがあります。微分積分と比較しながら見てみましょう。 以後、で微分する微分演算子を（＝）とします。これに対応して、で差分する差分演算子をとします。 【微分の定義】…

過去ブログの転載です。 Σ[k=0→∞]1／k!＝eというのは有名な事実ですが、これはマクローリン展開の式を用いれば簡単に示すことができます。 知恵袋の質問に、では Σ[k=0→n]1／k! は何になるのか？ というのがあったので、回答を作っていたのですが、回答しよ…

過去ブログの転載です。 総和の公式はいくつかありますが、有理式の総和は以下によってすべて求めることが可能です。 ｍは指数で、その値によって３パターンに分かれます。Ｃは組み合わせ、Ｂはベルヌーイ数（Ｂ1＝1／2）、γはオイラーの定数、ψ(n)はディガ…

過去ブログの転載です。雑な手書き数字のままなのは許してね(；ω；`) 部分分数分解とは、このような分母が因数の積になっているものを、それぞれの因数に分けた分数の足し算で表すことです。定数Ａ、Ｂ、Ｃを求めれば、右辺の形にすることが出来ます。この手…

過去ブログの転載です。 ガウス求積を用いたアークタンジェント近似式を紹介します。ガウス求積とは、以下の式で表される積分の近似式です。 ここで出てくるは、ルジャンドル多項式から導かれる定数です。ルジャンドル多項式とは、以下式で表される多項式で…

過去ブログの転載です。 素数の並びは今でも謎ですけど、n番目の素数を一本の式で表すこと自体は出来ちゃうんです。 はn番目の素数を表します。とっても複雑なのでカッコイイ感じがしますけど、非常にアルゴリズム的な数式で、まったく実用的な式ではありま…

過去ブログの転載です。 金属の名前がついた比たちを総称した貴金属比というものがあります。 （は自然数） のとき第１貴金属比、のとき第２貴金属比、のとき第３貴金属比、とそれぞれ呼び、一般に第貴金属比と呼ぶらしいです。 のときを計算してみると、 と…

過去ブログの転載です。 A4コピー用紙の短い方を3等分してみます。だいたい3等分！じゃなくて、芳賀定理という折り紙の定理を使って正確に3等分することを試みます。 【芳賀定理】 正方形のある辺の二等分点に対辺の端点を折り合わせると、その端点も最初の…

過去ブログの転載です。 できそうでできない、できない積分は実は身近にあふれているというお話でした↓ fermiumbay13.hatenablog.com そういう積分を何故かわからないけど解かないといけない場面に万が一遭遇してしまったときのため、以下のようなマイナーな…