３次方程式厳密解まとめ - RPGツクールと数学のブログ

過去ブログの転載です。

実数係数の３次方程式の厳密解のまとめです。

プログラムで実装する際にカルダノの公式をそのまま代入すると、途中式に虚数が入るので、既存の関数で求めるのは何かと困難であったりします。そのため、解の種類によって場合分けして、計算過程で虚数を使わないようにした方が何かと便利です。

途中式は省いて結果だけ羅列していきます。

$\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$

このままでは扱いづらいので、

$\displaystyle p=\frac{3ac-b^{2}}{3a^{2}}$
$\displaystyle q=\frac{2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}$
として、上の方程式を次の形に変換します。

$\displaystyle y^{3}+py+q=0$ （ただし $\displaystyle y=x+\frac{b}{3a}$ ）

これでカルダノの公式を用いることができます。以後、 $\displaystyle y_{n}$ は、 $\displaystyle n$ 番目（ $\displaystyle n=0,1,2$ ）の解 $\displaystyle y$ を表わします。

解のパターンは $\displaystyle p,q$ の値で４通りに分岐します。 $\displaystyle p=q=0$ のときのみ①となり、それ以外の場合は次の判別式で分岐します。

$\displaystyle D=\frac{27q^{2}+4p^{3}}{108}$

$\displaystyle D \gt 0$ のとき②
$\displaystyle D = 0$ のとき③
$\displaystyle D \lt 0$ のとき④

符号チェックのときのみ分母の108は無くてもいいですが、どっちみち後の計算でＤを使うので、そのままにしておいた方が無難です。

① p＝q＝0：実数解１個（３重解）の場合

$\displaystyle p=q=0$ のときのみ、このパターンになります。
$\displaystyle y_{n}=0$ （３重解）

② Ｄ＞0：実数解１個虚数解２個の場合

$\displaystyle D \gt 0$ のときのパターンです。

$\displaystyle \alpha = \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{D}}$
$\displaystyle \beta = \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{D}}$
として、３つの解は次のように表わされます。（注意：この1／3乗は、実数の3乗根ルート（中がマイナスのものはマイナスを外に出せる）を表します。）

$\displaystyle y_{0}=\alpha + \beta$
$\displaystyle y_{1}=-\frac{1}{2}(\alpha+\beta)+\frac{\sqrt{3}}{2}(\alpha-\beta)i$
$\displaystyle y_{2}=-\frac{1}{2}(\alpha+\beta)-\frac{\sqrt{3}}{2}(\alpha-\beta)i$