羊を9000兆匹数えるのに何年掛かるか - RPGツクールと数学のブログ

羊が一匹、羊が二匹、羊が三匹、……と続けていって、9000兆匹数えるまで何年掛かるか？？という問題を考えます（出処はyahoo知恵袋です）。

一匹数えるのに掛かる時間を9000兆倍すれば求まりそうですが、より正確に求めようと思ったら、徐々に1匹を数える時間が遅くなっていくことを考慮すべきです。例えば「羊が一匹」と「羊が九千九百九十九匹」では、後者の方が読むのに時間が掛かりますよね。なので、正確に求めようと思ったら羊の数ではなく、読み上げ文字数を使って求めるのが良いでしょう。そこで、9000兆匹読み上げるまでの総字数を計算することにします。

数の読み字数関数f, gを定義する

例えば123は、「ひゃくにじゅうさん」で7音だから、f(123)＝7となるような、数の読み字数関数fを考えます。すると、「ひつじがxひき」は (f(x)＋6)字になります。

数の読み方には濁りがありますが、以下のとおり字数は変わらないので、濁りは気にしないものとします。

「ひき」「びき」「ぴき」→ いずれも2字
「いっぴき」「いちひき」→ いずれも4字

まずは便宜上、f(0)＝0と定義します（「ぜろ」は対象外とする）。次に、以下は定数として与えておくことにします。

f(1)＝2（「いち」）
f(2)＝1（「に」）
f(3)＝2（「さん」）
f(4)＝2（「よん」）
f(5)＝1（「ご」）
f(6)＝2（「ろく」）
f(7)＝2（「なな」）
f(8)＝2（「はち」）
f(9)＝2（「きゅう」）

次に、桁用の読み字数を、別の関数g(x)で定義します。こんな感じです。

g(10)＝2（「じゅう」）
g(100)＝2（「ひゃく」）
g(1000)＝2（「せん」）
g(10000)＝2（「まん」）
g(100000000)＝2（「おく」）
g(1000000000000)＝2（「ちょう」）

実際は「垓(がい)」まで2が続くので、今回考える範囲では、常にg(x)＝2と考えてよいことになります。

なんでfとgで関数を分けるかというと、日本語の数の読み方の都合です。

例えば「じゅう」は「いちじゅう」とは読まないけど、「まん」は「いちまん」と読みますよね。「十百千」と「万億兆京…」とで読み方が違います。f関数と一緒にすると不便なので、桁を表す「十百千」と「万億兆京…」の部分だけをg関数で表せるようにします。

f(1000)＝g(1000)＝2（「せん」）
f(10000)＝f(1)＋g(10000)＝2＋2＝4（「いちまん」）

一万未満の読み字数を求める

それではf(x)を求めていきましょう。10≦x＜100のときは、次のようにします：

f(34)＝f(3)＋g(10)＋f(4)＝2＋2＋2＝6（「さんじゅうよん」）

間に「じゅう」を入れて前後分けるのです。ただし特別に、十の位が1の場合は読まないので、f(12)＝g(10)＋f(2) のように、f(1)を挿入しないものとします。

100≦x＜1000のときは、次のようにします：

f(234)＝f(2)＋g(100)＋f(34)

百の位だけを先頭に取り出すのです。こうすれば、後は再帰的に求まります。

f(34)＝f(3)＋g(10)＋f(4)＝6 であったから
f(234)＝f(2)＋g(100)＋6＝9
（「にひゃくさんじゅうよん」）

1000≦x＜10000のときも同じです：

f(5678)＝f(5)＋g(1000)＋f(678)
f(678)＝f(6)＋g(100)＋f(78)
f(78)＝f(7)＋g(10)＋f(8)
f(78)＝6 から再帰的に
f(678)＝f(6)＋g(100)＋6＝10
f(5678)＝f(5)＋g(1000)＋10＝13 が得られる
（「ごせんろっぴゃくななじゅうはち」）

間の桁に数がない場合も、f(0)＝0と定義したおかげで同様に求められます。

f(3040)＝f(3)＋g(1000)＋f(40)
f(40)＝f(4)＋g(10)＋f(0)＝4 から
f(3040)＝f(3)＋g(1000)＋4＝8
（「さんぜんよんじゅう」）

この方法で、0≦x＜10000の範囲のf(x)を求められるようになります。

一万以上の読み字数も求める

日本語の数詞は、「千百十」「億」「千百十」「万」「千百十」のように、桁の位取りが入れ子になっています。4桁区切りで「億」「万」などを間に入れ、さらにそれぞれの4桁を「千」「百」「十」で区切るような仕組みです。*1

だからf(x)も、x≧10000の場合は手続きを分ける必要があります。

やることは同じで、今度は4桁区切りにするだけです。

f(12345678)＝f(1234)＋g(10000)＋f(5678)
4桁以下の場合はさっきまでの方法で読めるから
f(1234)＝11
f(10000)＝2
f(5678)＝13
を使ってf(12345678)＝26

「せん」と「いちまん」の違いがありますが、手続きを分けたことで解決します。

f(1000)＝g(1000)＝2 … 4桁以下の処理ではf(1)省略
f(10000)＝f(1)＋g(10000)＋f(0)＝4 … f(1)はそのまま

以上のことをまとめると、f(x)は以下で求められることになるます：

f(0)～f(9)は定数から得るそれ以外の場合は
x≧10000なら、y＝10000^[log(x)／4]、z＝f([x／y])
10≦x＜10000なら、y＝10^[log(x)]、z＝0([x／y]＝1), f([x／y])([x／y]≠1) として
f(x)＝z＋g(y)＋f(x mod y) とする
（[・]は小数点以下切り捨て）

例えばf(315)は、上の式に当てはめると次のようになります。

y＝10^[log(315)]＝100、z＝f([x／y])＝f(3) として
f(315)＝f(3)＋g(100)＋f(15) となり
f(15)は
y＝10^[log(15)]＝10、z＝0（[x／y]＝1のため）として
f(15)＝g(10)＋f(5) となるのであとは定数を代入して
f(15)＝2＋1＝3、f(315)＝2＋2＋3＝7 と求まる

（「さんびゃくじゅうご」）

これで任意のf(x)を計算できるようになりました。たとえば「羊が12345匹」を数えようと思ったら、f(12345)＝16 なので、「羊が12345匹」はf(12345)＋6＝22字です。もし1秒4字で読めるとすれば、5.5秒かかることになります。

羊を9999匹まで数える

羊を9000兆匹まで数えると何文字になるかというと、「羊がx匹」のときに(f(x)＋6)字なのですから、

(f(1)＋6)＋(f(2)＋6)＋(f(3)＋6)＋…＋(f(9000兆)＋6)

になるはずです。任意のf(x)が求められるようになったので、後は足していくだけですが、少し工夫が必要です。

まずは簡単のため、以下を求める方法を考えます。

f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(9)＝16
f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(99)＝480
f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(999)＝8000
f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(9999)＝112000

f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(9)＝16 は、定義からすぐ求められます。

次に f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(99) を考えます。この範囲のf(x)は項が最大3つなので、
以下のとおり順番に第1項、第2項、第3項、と呼ぶことにします。

f(34)＝f(3)＋g(10)＋f(4) だから
第1項＝f(3)、第2項＝g(10)、第3項＝f(4)
10未満なら第3項のみで、第1, 2項は0

それぞれが現れる回数をカウントしましょう。

第3項は一の位に相当するから、f(0)＋f(1)＋…＋f(9)が10回現れることになります。第2項は10～99の範囲でだけ現れるので、90回。第1項は、f(1)は省略するから、f(2)＋…＋f(9)が10回現れるものと考えます。（ちょっと難しいね…）

よって、f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(99)は次のようになります：

第1項の和＝10(f(2)＋…＋f(9))＝140
第2項の和＝90g(10)＝180
第3項の和＝10(f(0)＋f(1)＋…＋f(9))＝160
以上の和なので、f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(99)＝480となる

同様にして、f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(999)は次のようになります：

第1項の和＝100(f(2)＋…＋f(9))＝1400
第2項の和＝900g(100)＝1800
第3項の和＝10(f(0)＋f(1)＋…＋f(99))＝4800
以上の和なので、f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(999)＝8000

f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(9999)はこうです。だんだん法則が見えてくるはずです：

第1項の和＝1000(f(2)＋…＋f(9))＝14000
第2項の和＝9000g(100)＝18000
第3項の和＝10(f(0)＋f(1)＋…＋f(999))＝80000
以上の和なので、f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(9999)＝112000

10000匹以上数える

4桁区切りで手続きが違うので、4桁区切りでパターンが一新されます。f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(99999) は以下です：

第1項の和＝10000(f(1)＋f(2)＋…＋f(9))＝160000
第2項の和＝90000g(10000)＝180000
第3項の和＝10(f(0)＋f(1)＋…＋f(9999))＝1120000
以上の和なので、f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(99999)＝1460000

f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(999999)は以下：

第1項の和＝10000(f(0)＋f(1)＋…＋f(99))＝4800000
第2項の和＝990000g(10000)＝1980000
第3項の和＝100(f(0)＋f(1)＋…＋f(9999))＝11200000
以上の和なので、f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(999999)＝17980000

f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(9999999)は以下：

第1項の和＝10000(f(0)＋f(1)＋…＋f(999))＝80000000
第2項の和＝9990000g(10000)＝19980000
第3項の和＝1000(f(0)＋f(1)＋…＋f(9999))＝112000000
以上の和なので、f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(9999999)＝211980000

f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(99999999)は以下：

第1項の和＝10000(f(0)＋f(1)＋…＋f(9999))＝1120000000
第2項の和＝99990000g(10000)＝199980000
第3項の和＝10000(f(0)＋f(1)＋…＋f(9999))＝1120000000
以上の和なので、f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(99999999)＝2439980000

f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(999999999)は以下：

第1項の和＝100000000(f(0)＋f(1)＋…＋f(9))＝1600000000
第2項の和＝900000000g(100000000)＝1800000000
第3項の和＝10(f(0)＋f(1)＋…＋f(99999999))＝24399800000
以上の和なので、f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(999999999)＝27799800000

こんな調子で9999兆まで求めてると以下になります：

第1項の和＝1000000000000(f(0)＋f(1)＋…＋f(9999))＝112000000000000000
第2項の和＝9999000000000000g(1000000000000)＝19998000000000000
第3項の和＝10000(f(0)＋f(1)＋…＋f(999999999999))＝375996000000000000
以上の和なので、f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(999999999999)＝507994000000000000

9がいっぱいでゲシュタルト崩壊してきそうです。求めたいのは9000兆なので、類似の方法でf(0)～f(8999999999999999)の和を求めます：

第1項の和＝1000000000000(f(0)＋f(1)＋…＋f(8999))＝100000000000000000
第2項の和＝8999000000000000g(1000000000000)＝17998000000000000
第3項の和＝9000(f(0)＋f(1)＋…＋f(999999999999))＝338396400000000000
よって f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(8999999999999999)＝456394400000000000

f(9000兆)＝6 なので、上記に6を足して、