Σk(k＋1)…(k＋m－1) - RPGツクールと数学のブログ

過去ブログの転載です。

総和の公式の中にこんなものがあります。

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k(k+1)\cdots (k+m-1)=\frac{1}{m+1} n(n+1)\cdots(n+m)$

例えば、 $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2)=\frac{1}{4} n(n+1)(n+2)(n+3)$ となります。

この公式を知らないと、左辺を展開してそれぞれの総和の公式に当てはめて、まとめて最後に因数分解……とかしないと右辺にならないので、結構面倒です。

でもなんだかこの公式、きれいじゃないですか？

総和の公式で累乗の和を求めるものがありますが、基本的にどうも複雑な形をしたものが多く感じられますよね。
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k = \frac{1}{2} n(n+1)$
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^{2} = \frac{1}{6} n(n+1)(2n+1)$
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^{3} = \frac{1}{4} n^{2} (n+1)^{2}$

など、なんだか統一性がないように見えます。

一般のm次の場合の公式が実はあるのですが、とてつもなく煩雑です↓
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^{m} = \frac{n}{m+1} \sum_{i=0}^{n} {}_{m+1}C_{i} B_{i} n^{m-i}$
こんなんわけがわかりませんよね。この式の詳細は以下です：

有理数の総和公式 - RPGツクールと数学のブログ

それに比べて冒頭の式は実にきれいです。nの一次式が一個掛かって、その次数の逆数が係数として掛けられている、なんだかまるでこれみたいですよね↓

$\displaystyle \int x^{m} dx=\frac{1}{m+1} x^{m+1}+C$

実際、冒頭の公式こそが真の累乗の和の式じゃないでしょうか。つまり、Σk^2とかΣk^3とかの方がズレていて、成るべくして煩雑になってしまったと思うわけです。詳細は以下です：

ポッホハマー記号を使おう！ - RPGツクールと数学のブログ

差分和分について

本記事の目的は、冒頭の式を導出することです。まずは準備段階として、差分和分についてさらっと説明します。差分和分とは、微分積分の数列バージョンとでも言いますか、非常に類似した考え方です。

差分和分 - RPGツクールと数学のブログ

【差分】
$\displaystyle b_{n}=\Delta a_{n} = a_{n+1}-a_{n}$

【不定和分】
$\displaystyle \sum b_{n}=a_{n}+C$ （ $C$ は和分定数）

【定和分】
$\displaystyle \sum_{n=\alpha}^{\beta} b_{n}=a_{\beta+1}-a_{\alpha}$

これによれば、数Ｂで扱う総和を求める問題は、すべて定和分を計算する問題と等価なことになります。

微分積分で、積分公式は微分公式から導くことができるように、
差分和分では差分公式から和分公式、すなわち総和の公式を与えることができます。

例えば、
$\Delta 1=1-1=0$
$\Delta n=(n+1)-n=1$
$\Delta n^{2} = (n+1)^{2}-n^{2}=(n^{2}+2n+1)-n^{2}=2n+1$
などという差分公式から、それをひっくり返して
$1=\sum 0$ より、 $\sum 0=1+C$ となって、定数は $C$ にまとめて $\sum 0 = C$
$n=\sum 1$ より、 $\sum 1=n+C$
$n^{2}=\sum(2n+1)=2\sum n + \sum 1=2\sum n + n + C$ となるから、
$\displaystyle n=\frac{1}{2} (n^{2}-n)+C=\frac{1}{2} n(n-1)+C$ になる、といった具合で和分公式を与えていくことができます。

【差分公式】
$\displaystyle \Delta 1 = 0$
$\displaystyle \Delta n = 1$
$\displaystyle \Delta n^{2} = 2n+1$

【和分公式】
$\displaystyle \sum 0 = C$
$\displaystyle \sum 1 = n+C$
$\displaystyle \sum n = \frac{1}{2} n(n-1)+C$

不定和分を使えば、定和分、すなわち数列の何から何までの和、というのを求められます。

例えば $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k = \frac{1}{2} n(n+1)$ ですが、これを求めるには和分公式の「 $\displaystyle n = \frac{1}{2} n (n-1) + C$ 」を使います。
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k$
$\displaystyle =a_{n+1}-a{1}$
$\displaystyle =\left\{ \frac{1}{2} (n+1)(n+1-1)+C \right\} - \left\{ \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot (1-1)+C \right\}$
$\displaystyle =\left\{ \frac{1}{2} n(n+1)+C \right \} - (0+C)$
$\displaystyle =\frac{1}{2} n(n+1)$
といった具合ですね。定積分と同じで、定数 $C$ は消えます。

差分和分で証明する

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k(k+1)\cdots (k+m-1)=\frac{1}{m+1} n(n+1)\cdots (n+m)$ を、差分和分を使って示します。別にこれじゃなきゃいけないってことはないですけれど、差分和分を使うととても自然に示せます。

ここで、 $k(k+1) \cdots (k+m-1)$ というのが扱いづらいので、次のような記号を使って表わします。

$\displaystyle k^{[m]}=k(k+1)\cdots (k+m-1)$

例えば、 $\displaystyle 3^{[4]}=3\times 4\times 5\times 6=360$ といった具合です。累乗の上がっていくバージョンですね。階乗の仲間かな？　なんとなく、離散における累乗はこれの方が自然な気もしてきます。

この記号を使えば、さっきの公式は次のように表わせます。

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^{[m]}=\frac{1}{m+1} n^{[m+1]}$

なんだかより定積分の公式に近くなりましたね。これを示すことにしましょう。

まずは $\displaystyle n^{[m]}$ の差分を求めます。
$\displaystyle \Delta n^{[m]}$
$\displaystyle =(n+1)^{[m]}-n^{[m]}$
$\displaystyle =(n+1)(n+2)\cdots(n+m)-n(n+1)\cdots(n+m-1)$
とすると、 $n$ と $(n+m)$ 以外は共通因数なので、
$\displaystyle =(n+1)(n+2)\cdots(n+m-1)\{(n+m)-n\}$
$\displaystyle =m(n+1)(n+2)\cdots(n+m-1)$
$\displaystyle =m(n+1)^{[m-1]}$
となることから、
$\displaystyle \Delta n^{[m]}=m(n+1)^{[m-1]}$
という差分公式が作れます。なんとか乗の微分に似てますね。 $n$ が $n+1$ に置き換わる所に注意です。

では、これをひっくり返して和分公式を作りましょう。ただひっくり返すだけです。
$\displaystyle \sum m(n+1)^{[m-1]}=n^{[m]}+C$

これを変形していきます。両辺 $m$ で割って、

$\displaystyle \sum (n+1)^{[m-1]}=\frac{1}{m} n^{[m]}+C$

$n+1$ を $n$ に置き換えてやれば、

$\displaystyle n^{[m-1]}=\frac{1}{m} (n-1)^{[m]}+C$

さらに、 $m-1$ を $m$ に置き換えてやると、

$\displaystyle n^{[m]}=\frac{1}{m+1} (n-1)^{[m+1]}+C$

となりますね。あら、ほとんど出来たようなものですね。

あとは定和分を使って公式の形にします。

$\displaystyle \sum_{n=1}^{n}n^{[m]}$
$\displaystyle = \left\{ \frac{1}{m+1} (n+1-1)^{[m+1]}+C \right\} - \left\{ \frac{1}{m+1} (1-1)^{[m+1]}+C \right\}$
$\displaystyle \left \{ \frac{1}{m+1} n^{[m+1]}+C\right \} - \left \{ 0 + C \right \}$
$\displaystyle =\frac{1}{m+1} n^{[m+1]}$
となって、導くことができました。