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貴金属比

数学数学-一般数学

過去ブログの転載です。

金属の名前がついた比たちを総称した貴金属比というものがあります。

$1:\frac{n+\sqrt{n^{2}+4}}{2}$ （ $n$ は自然数）

$n=1$ のとき第１貴金属比、
$n=2$ のとき第２貴金属比、
$n=3$ のとき第３貴金属比、
とそれぞれ呼び、一般に第 $n$ 貴金属比と呼ぶらしいです。

$n=1$ のときを計算してみると、
$\frac{1+\sqrt{1+4}}{2}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ となるので、

第１貴金属比は $1:\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ となります。分かる方には分かりますね。これは黄金比なのです。

$n=2$ のときはどうなるかというと、
$\frac{2+\sqrt{4+4}}{2}=\frac{2+\sqrt{8}}{2}=1+\sqrt{2}$ になるから、 $1:1+\sqrt{2}$ が第２貴金属比です。これは白銀比といいます。あれ、白銀比は $1:\sqrt{2}$ のことじゃなかったかな、と思われる方もいるでしょうけど、実は白銀比には2種類あって、 $1:1+\sqrt{2}$ も、 $1:\sqrt{2}$ も、白銀比というらしいです。都合がいいですねぇ。区別するときは、 $1:1+\sqrt{2}$ は第２貴金属比、 $1:\sqrt{2}$ は大和比と呼ぶことがあるらしいです。そんなことあるのかな……

$n=3$ のときはどうなるかというと
$\frac{3+\sqrt{9+4}}{2}=\frac{3+\sqrt{13}}{2}$ ということで、 $1:\frac{3+\sqrt{13}}{2}$ が第３貴金属比です。金、銀、と来てるから、次は銅ですね。これは青銅比と呼ばれるそうです。

第 $n$ 貴金属比の値のグラフは以下の通り。

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これといって特徴のないグラフ。これはなんなんだろう……