RPGツクールと数学のブログ

RPGツクールと数学についてのブログです。

数学-大学数学

ルベーグ積分 ~穴だらけでも面積が知りたい~

積分は関数グラフの面積を求める方法ですけど、きちんと積分が求められるためには、関数グラフが連続で滑らかでなければなりませんよね。↓こういう、途中穴があいたような関数には不適ということです。 面積を求めるのですから、こんなものがうまく求められ…

整数解の個数

過去ブログの転載です。 今回は整数解の個数に関する以下の証明をしてみます。 実数があるとき、次の範囲を満たす整数の個数をそれぞれ与える。個個個個ただし、はそれぞれ床関数、天井関数。(それぞれ正の数に対する切り捨て、切り上げに相当) 例えばを満…

切り捨て総和の公式

過去ブログの転載です。 を求めます。ただし、は正の数のみという条件が要ります。マイナス入ったら変形してこの形にします。 は床関数です。中身が正の数なので、この場合は小数点以下切り捨てと同義です。要するに有理数の切り捨てしていったものを足して…

実数に拡張した最大公約数

過去ブログの転載です。 最大公約数は、ユークリッドの互除法を定式化することで、以下の式により求めることが可能です。 正の整数との最大公約数をとします。は、をで割ったあまりを意味します。 この式で例えば138と60との最大公約数を求めてみると となり…

3次方程式厳密解 まとめ

過去ブログの転載です。 実数係数の3次方程式の厳密解のまとめです。 プログラムで実装する際にカルダノの公式をそのまま代入すると、途中式に虚数が入るので、既存の関数で求めるのは何かと困難であったりします。そのため、解の種類によって場合分けして…

ベズー方程式の解の公式 その3(完全版)

過去ブログの転載です。 多元ベズー方程式とは、上の多元不定方程式のことを指します。一次ディオファントス方程式ともいいます。 既知で非0の整数a[i]と、未知の整数x[i]との積和が整数b[1]になるとき、未知の整数x[i]の組を列挙するのが、この方程式を解く…

ベズー方程式の解の公式 その2(多変数 自然数解のみ)

過去ブログの転載です。 自然数a, b, cからなる不定方程式ax+by=cの自然数解(x, y)を求める解の公式を前回作りました。 fermiumbay13.hatenablog.com ここではこれを拡張して、任意の個数の元での自然数解を求めます。 k個の正の整数a[1], a[2], …, a[k](…

ベズー方程式の解の公式 その1(ax+by=c)

過去ブログの転載です。 これベズーの等式という名前がついているそうですね。 この形の不定方程式の自然数解(x, y)を求める問題はよくありますが、これを解くのって意外とめんどくさいことが多いのですよね。そこで、2次方程式みたいに解の公式を作ればラク…

Σ[k=1→n][√k]

過去ブログの転載です。 を求める方法の考え方です。は切り捨てを意味します。この場合は整数部分といっても正しいです。 要するに次のような値の総和を求める手続きです。 …… 求めるのは一見するととても難しそうですが、数値の見方を変えると捉えやすくな…

Σk(k+1)…(k+m-1)

過去ブログの転載です。 総和の公式の中にこんなものがあります。 例えば、となります。 この公式を知らないと、左辺を展開してそれぞれの総和の公式に当てはめて、まとめて最後に因数分解……とかしないと右辺にならないので、結構面倒です。 でもなんだかこ…

減衰振動

過去ブログの転載です。 減衰振動とは、その名の通り減衰していく振動のことです。 定数を用いて、と表わされます。 グラフはこんなかんじです。時間とともに減衰していく様子が確認できますね。この振動は一見すると物々しいもののようですが、実はかわいい…

異種微分積分 ~ 四則演算の拡張

過去ブログの転載です。 微分積分を習ってから色々なことを吸収し始めると、なんだか積分って、掛け算の拡張みたいだよな!!とか思い始める子いるんじゃないかと思います。 なぜかというと、掛け算というのは言わば長方形の面積を求めるのと一緒の演算で、…

ベアストウ法

過去ブログの転載です。 高次方程式の数値解を求めるうまい手法に、ベアストウ法というのがあります。 数値解を得るのは一般的にニュートン法で十分じゃないかと思われますが、虚数解を持つ高次方程式のすべての解をニュートン法で得るのは面倒なことが多く…

差分和分

過去ブログの転載です。 微分積分の離散バージョンに差分和分(さぶんわぶん)というのがあります。微分積分と比較しながら見てみましょう。 以後、で微分する微分演算子を(=)とします。これに対応して、で差分する差分演算子をとします。 【微分の定義】…

階乗の逆数総和の部分和

過去ブログの転載です。 Σ[k=0→∞]1/k!=eというのは有名な事実ですが、これはマクローリン展開の式を用いれば簡単に示すことができます。 知恵袋の質問に、では Σ[k=0→n]1/k! は何になるのか? というのがあったので、回答を作っていたのですが、回答しよ…

有理数の総和公式

過去ブログの転載です。 総和の公式はいくつかありますが、有理式の総和は以下によってすべて求めることが可能です。 mは指数で、その値によって3パターンに分かれます。Cは組み合わせ、Bはベルヌーイ数(B1=1/2)、γはオイラーの定数、ψ(n)はディガ…

部分分数分解の公式(ヘビサイドのカバーアップ法)

過去ブログの転載です。雑な手書き数字のままなのは許してね(;ω;`) 部分分数分解とは、このような分母が因数の積になっているものを、それぞれの因数に分けた分数の足し算で表すことです。定数A、B、Cを求めれば、右辺の形にすることが出来ます。この手…

アークタンジェント近似式

過去ブログの転載です。 ガウス求積を用いたアークタンジェント近似式を紹介します。ガウス求積とは、以下の式で表される積分の近似式です。 ここで出てくるは、ルジャンドル多項式から導かれる定数です。ルジャンドル多項式とは、以下式で表される多項式で…

n番目の素数を表す式

過去ブログの転載です。 素数の並びは今でも謎ですけど、n番目の素数を一本の式で表すこと自体は出来ちゃうんです。 はn番目の素数を表します。とっても複雑なのでカッコイイ感じがしますけど、非常にアルゴリズム的な数式で、まったく実用的な式ではありま…

できない積分に使える特殊関数いろいろ

過去ブログの転載です。 できそうでできない、できない積分は実は身近にあふれているというお話でした↓ fermiumbay13.hatenablog.com そういう積分を何故かわからないけど解かないといけない場面に万が一遭遇してしまったときのため、以下のようなマイナーな…

できない積分

過去ブログの転載です。 積分の問題を色々解いてみましょう。積分??なにそれ!な状態だと、本記事の内容はたぶん何一つわかりません…… ∫xsinxdx コレは、できるよね?? 部分積分すれば解けますね。こうなります。 ∫xcosxdx ができるならもできるでしょう…

チルノ関数

過去ブログの転載です。 チルノ関数とは、となるにつれ、となる関数のことです。チルノのパーフェクトさんすう教室で、1、2、⑨-!って言うので、そこから生まれた関数ですね。*1 上記の条件さえ満たせば、どんな関数でもチルノ関数です。多項式の関数なら、…

射影変換の導出式

ゲーム作りでも使うと便利。今回は平面図形の変換についての内容です。 図形を変形する数学的な方法として、さまざまな変換があります。本記事は射影変換の導出式を提示するのが目的ですが、まず変換にはどんなものがあるか紹介します。 数学的な図形の変換 …

素数を合成数+合成数に分解する

例えば30個のブロックを長方形状に並べようと考えます。5×6とか、3×10とか、色々な長方形として並べられますね。 しかし、31個のブロックとなると話が変わります。31は素数なので、1×31、31×1、のパターンしか無いのです。短辺が1の長方形として並べましたー…

ポッホハマー記号を使おう!

過去ブログの転載です。 いつからこれが累乗の和の式だと錯覚していた? 累乗の和の公式は、とても複雑です。指数が大きくなると、まるで違う式になってしまいますよね。 一方で、累乗の積分の公式はいたってシンプルです。 これらはまとめて次の一本の式で…

ZFC公理系

過去ブログの転載です。 数学は、何か定義をして、そこから得られる結論を定理としてまとめていくことで築いていく、巨大な論理の集大成といわれています。 足し算を定義して、それを発展させて掛け算を作り、さらにそれを発展させて累乗を作ることができま…

四次方程式の解の公式をシンプルに書く

二次方程式の解の公式は学校で習いますが、世の中には四次方程式まで解の公式があります。不思議なことに、五次以上には解の公式がない*1のですが…… では、なぜ三次方程式と四次方程式にも解の公式があるのに習わないのかといえば、めっちゃ複雑でかつ使えな…

輪 ~ 始めようゼロ除算

過去ブログの転載です。 ゼロ除算は禁じられています。小中学校で習いましたね。はできても、は出来ません。もダメです。 で割ることを許してしまうと、例えばこんなことが起きてしまいます。 とすると、両辺倍することでになり、左辺は約分してになり、右辺…

複素数の複素数乗

複素数の複素数乗の計算公式を記載します。 公式 公式1 複素数の複素数乗 複素数、実数について、 として、 が成り立つ。ここで、 は実数の自然対数を、 は複素数の偏角(多価関数)をそれぞれ表す。 導出 公式1 複素指数関数の定義から が成り立つ。 ここで…