差分和分 - RPGツクールと数学のブログ

過去ブログの転載です。

微分積分の離散バージョンに差分和分（さぶんわぶん）というのがあります。微分積分と比較しながら見てみましょう。

以後、 $x$ で微分する微分演算子を $D$ （＝ $\displaystyle \frac{d}{dx}$ ）とします。これに対応して、 $n$ で差分する差分演算子を $\Delta$ とします。

【微分の定義】
$\displaystyle Df(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

【差分の定義】（厳密にはこれは前進差分というものになります）
$\displaystyle \Delta a_{n} = a_{n+1}-a_{n}$

差分は数列の階差数列を求める手続きと同じです。改めて見てみると、この操作は微分とよく似ていますね。

例えば次のような数列 $a_{n}$ を考えます。

$1, 4, 9, 16, 25, 36, \cdots$

この階差数列 $b_{n}$ は次のようになります。

$3, 5, 7, 9, 11, \cdots$

このとき、これを次のように表します。

$\Delta a_{n} = b_{n}$

もとの数列を差分したものが階差数列ということになりますね。逆に、階差数列からもとの数列を導く手続きを和分といいます。

ただし、和分だと積分と同様、任意定数が後につきます。階差数列だけではもとの数列が特定できないのと同じですね。この定数を和分定数 $C$ と呼び、和分演算子 $\Delta^{-1}$ とします。
$\Delta^{-1}b_{n}=a_{n}+C$

こうなるわけですね。

微分と差分の多項式での公式を提示します。それぞれ定義に従って計算すれば求められます。微分も差分も線型性があります。

【微分公式】
$D1=0$
$Dx=1$
$Dx^{2}=2x$
$Dx^{3}=3x^{2}$
$Dx^{a}=ax^{a-1}$
$Da^{x}=(\log a) a^{x}$

【差分公式】
$\Delta 1=0$
$\Delta n=1$
$\Delta n^{2}=2n+1$
$\Delta n^{3}=3n^{2}+3n+1$
$\Delta n^{a}=an^{a-1}+({}_{a}C_{2})n^{a-2}+({}_{a}C_{3})n^{a-3}+\cdots+1$
$\Delta a^{n}=(a-1)a^{n}$

微分だと $h \to 0$ とするので第1項以外は全部0になりますが差分だと残ってしまうので高次の差分は複雑です。

微分公式をひっくり返すと積分公式が得られるように、
差分公式をひっくり返すことにより、和分公式を得ることができます。

積分演算子を $D^{-1}$ （＝ $\int dx$ ）とします。

【積分公式】
$\displaystyle D^{-1}0=C$
$\displaystyle D^{-1}1=x+C$
$\displaystyle D^{-1}x=\frac{1}{2}x^{2}+C$
$\displaystyle D^{-1}x^{2}=\frac{1}{3}x^{3}+C$
$\displaystyle D^{-1}x^{a}=\frac{1}{a+1}x^{a+1}+C$
$\displaystyle D^{-1}a^{x}=\frac{1}{\log a}a^{x}+C$

【和分公式】
$\displaystyle \Delta^{-1}0=C$
$\displaystyle \Delta^{-1}1=n+C$
$\displaystyle \Delta^{-1}n=\frac{1}{2}n^{2}-\frac{1}{2}n+C$
$\displaystyle \Delta^{-1}n^{2}=\frac{1}{3}n^{3}-\frac{1}{2}n^{2}+\frac{1}{6}n+C$
$\displaystyle \Delta^{-1}a^{n}=\frac{1}{a-1}a^{n}+C$

$\Delta^{-1}n^{a}$ はファイルハーバーの公式で得られるような複雑なものになるので、求めるのはやめておきます。やはり積分と対応していますが、余分な項が出ていますね。実は $\Delta^{-1}n^{a}$ は、 $1$ から $n-1$ までの $a$ 乗和になっています。

階差数列の問題を解く

ではこれらを用いて高校の階差数列の問題を解いてみましょう。次のような数列を考えます。*1

$1, 2, 9, \cdots$

第1項、第2項、第3項、の順に1, 2, 9になるような数列です。それさえ満たしてあれば、正直別に後は何でも構いません。

この一般項の最も単純な形は $3n^{2}-8n+6$ になるので、これを導きます。

上の数列を $a_{n}$ とし、差分を求めます。 $\Delta a_{n}=b_{n}$ とします。

$b_{n}$ は、 $1, 7, \cdots$ となりますね。この一般項は $b_{n}=6n-5$ とでも書けるとします。

ここまでは高校数学と同じです。ここで、和分公式を用いて $b_{n}$ を和分することにより $a_{n}$ を求めましょう。

$a_{n}$
$=\Delta^{-1}b_{n}$
$=\Delta^{-1}(6n-5)$
$=6\Delta^{-1}n-5\Delta^{-1}1$ … 線型性より
$\Delta^{-1}1=n+C$ 、 $\displaystyle \Delta^{-1}n=\frac{1}{2} n^{2}-\frac{1}{2} n+C$ を用いて、
$\displaystyle =6(\frac{1}{2} n^{2}-\frac{1}{2} n)-5n+C$
$=3n^{2}-8n+C$
となり、和分が計算できました。

和分定数 $C$ が残っていますが、これは初期条件 $a_{1}=1$ を用いることにより消去できます。

$a_{1}=1=3-8+C$
$C=6$
従って、 $a_{n}=3n^{2}-8n+6$ が求まりました。

なんとなく、微分方程式の解を求める手続きに似ていると思いませんか。

漸化式を解く

$a_{n+1}=2a_{n}+1$ （ $a_{1}=3$ ）を満たす $a_{n}$ を求めてみます。

まずは通常の解法からやってみましょう。

定数の「 $+1$ 」が邪魔なので、両辺に $1$ を足して
$a_{n+1}+1=2a_{n}+2$
$a_{n+1}+1=2(a_{n}+1)$
とし、 $a_{n}+1=b_{n}$ と置けば
$b_{n+1}=2b_{n}$
となりますね。 $b_{1}=a_{1}+1=4$ です。
これは等比数列ですから
$b_{n}=4\cdot 2^{n-1}=2^{n+1}$ となりますね。
従って、 $a_{n}=2^{n+1}-1$ として求めることができます。

これを差分和分を用いて解くことを考えてみます。
$a_{n+1}=2a_{n}+1$ から両辺 $a_{n}$ を引けば
$a_{n+1}-a_{n}=a_{n}+1$ となるわけですが、
差分の定義から $a_{n+1}-a_{n}=\Delta a_{n}$ でしたね。ですからこれは
$\Delta a_{n}=a_{n}+1$ と表せることになります。
微分方程式の差分版のような形になっていますね。これが微分方程式だとすると、どうすれば解けるのか確認してみましょう。

微分方程式の場合

微分方程式 $Dy=y+1$ の解を得ることを考えてみます。

移項すると $Dy-y=1$
この斉次形の一般解を求めて、それにもとの微分方程式の特殊解を足せば一般解になります。

斉次形は $Dy-y=0$ なので、移項すると $Dy=y$
微分してもとの関数に戻るものといえば $y=e^{x}$ ですから、一般解は定数つけて $y=Ce^{x}$ となりますね。
次に、 $Dy-y=1$ の特殊解を得ます。右辺が $1$ なので、 $y=-1$ としてやれば、定数の微分は $0$ なので、 $Dy=0$ となることから解になることが確認できます。