複素数の複素数乗 - RPGツクールと数学のブログ

複素数の複素数乗の計算公式を記載します。

公式

公式1 複素数の複素数乗

複素数 $z$ 、実数 $p, q$ について、

${\displaystyle \begin{cases} \alpha=p {\rm Log}|z|-q\arg{z}\\ \beta=q {\rm Log}|z|+p\arg{z} \end{cases} }$

として、

${\displaystyle z^{p+qi}=e^{\alpha} (\cos{\beta}+i\sin{\beta}) }$

が成り立つ。ここで、 ${\rm Log}(x)$ は実数 $x$ の自然対数を、 ${\rm \arg}(z)$ は複素数 $z$ の偏角（多価関数）をそれぞれ表す。

導出

公式1

複素指数関数の定義から ${\displaystyle z^{p+qi}= e^{(p+qi)\log{z}} }$ が成り立つ。

ここで、 ${\displaystyle \log{z} =\log{\left(|z|e^{i\arg{z}}\right)} ={\rm Log}|z|+i\arg{z} }$ より、

${\displaystyle e^{(p+qi) \log{z}} =e^{(p+qi)({\rm Log}|z|+i\arg{z})} =e^{\left(p{\rm Log}|z|-q\arg{z}\right)+\left(q{\rm Log}|z|+p\arg{z}\right)i} }$

${\displaystyle \begin{cases} \alpha=p {\rm Log}|z|-q\arg{z}\\ \beta=q {\rm Log}|z|+p\arg{z} \end{cases} }$

とそれぞれ置けば、 ${\displaystyle e^{\alpha+\beta i} }$ と表せるので、

${\displaystyle e^{\alpha+\beta i} =e^{\alpha}e^{\beta i} =e^{\alpha}(\cos{\beta}+i\sin{\beta}) }$ が成り立つ。
□

例

例1） ${\displaystyle (4+5i)^{2-3i} }$ を求める。

${\displaystyle \begin{cases} \alpha=2 {\rm Log}|4+5i|+3\arg{(4+5i)}\\ \beta=-3 {\rm Log}|4+5i|+2\arg{(4+5i)} \end{cases} }$

ここで、

${\displaystyle {\rm Log}|4+5i| ={\rm Log}\sqrt{4^{2}+5^{2}} ={\rm Log}\sqrt{41} }$

${\displaystyle \arg{(4+5i)}=\tan^{-1}{\frac{5}{4}}+2n\pi }$ （ $n$ は整数）

より、

${\displaystyle \begin{cases} \alpha={\rm Log}41+3\tan^{-1}{\frac{5}{4}}+6n\pi\\ \beta=-\frac{3}{2} {\rm Log}41+2\tan^{-1}{\frac{5}{4}}+4n\pi \end{cases} }$

となりますから、

${\displaystyle (4+5i)^{2-3i}= }$

${\displaystyle e^{{\rm Log}41+3\tan^{-1}{\frac{5}{4}}+6n\pi} \cos{\left(-\frac{3}{2} {\rm Log}41+2\tan^{-1}{\frac{5}{4}}\right)} }$

${\displaystyle +ie^{{\rm Log}41+3\tan^{-1}{\frac{5}{4}}+6n\pi} \sin{\left(-\frac{3}{2} {\rm Log}41+2\tan^{-1}{\frac{5}{4}}\right)} }$

となります。多価関数になりますね。

試しに $n=0$ としてみると、およそ $-484.779+358.425i$ となります。 GoogleやWolframAlphaの電卓ではこの値が答えになるようですね。実際には無限に答えがあります。

(4+5i)^(2-3i) - Google 検索

Wolfram|Alpha: Computational Knowledge Engine

例2） ${\displaystyle 4^{\frac{1}{2}} }$ を求める。

指数関数は複素数範囲だと多価関数になるので、これは $4$ の平方根である $\pm 2$ が返るはずです。

${\displaystyle \begin{cases} \alpha=\frac{1}{2}{\rm Log}|4|={\rm Log}2\\ \beta=\frac{1}{2}\arg{4}=\frac{1}{2}(2n\pi)=n\pi \end{cases} }$

となるので、

${\displaystyle 4^{\frac{1}{2}}=e^{{\rm Log}2} (\cos{n\pi}+i\sin{n\pi}) =2 \cdot (-1)^{n} =\pm 2 }$

となります。偏角は $0$ ではなく、無限にあるので $2n\pi$ になることに注意です。